La propagazione guidata: linee bifilari e cavi coassiali

La propagazione guidata: linee bifilari e cavi coassiali

La teoria

Per propagazione guidata di campi elettromagnetici si intende la propagazione di un campo elettrico E e di un campo magnetico H, con componenti qualsiasi, che avviene in una direzione preferenziale. Essa deve essere ovviamente supportata da qualche mezzo materiale, come una coppia di conduttori costituenti una linea bifilare o, se concentrici, un cavo coassiale.

Si consideri una terna cartesiana di riferimento e si ponga l’asse z nella direzione della linea, bifilare o coassiale che sia.

Siano i campi elettrico e magnetico espressi come:

E = E_t + E_z i_z

H = H_t + H_z i_z

dove il grassetto indica che si tratta di grandezze vettoriali, mentre l’indice z indica la direzione longitudinale. L’indice t identifica la componente del campo elettrico giacente nel piano trasversale alla direzione di propagazione.

Lo studio si esegue imponendo che i campi elettrico e magnetico abbiano componenti longitudinali nulle, cioè che sia:

E_z = H_z = 0

e applicando le equazioni di Maxwell. Infatti, la domanda è se sia possibile, e sotto quali condizioni, la propagazione di un campo elettromagnetico che sia tutto contenuto nel piano trasverso. Un campo siffatto, contenuto esclusivamente nel piano ortogonale alla direzione z, viene anche indicato come “modo TEM”.

Il termine “modo” in fisica indica una grandezza ondulatoria. Si può parlare, infatti, di modi di vibrazione di una corda così come dei modi di un’oscillazione elettromagnetica ecc.

TEM è un acronimo per “trasverso elettrico e magnetico”.

Dopo una serie di passaggi, che per brevità ometteremo, si ottengono le seguenti relazioni tra i campi elettri e magnetici:

                                          

dove E_t e H_t sono i vettori campo elettrico e magnetico giacenti sul piano trasversale alla direzione di propagazione (asse z).

Se ora poniamo arbitrariamente:

                           1)                    E_t = e(t) V(z)
                                                  H_t = h(t) I(z)

dove t indica un generico punto del piano trasverso, e(t) e h(t) dipendono solo dalle coordinate nel piano trasverso, mentre V(z) e I(z) dipendono solo dalla coordinata longitudinale.

I simboli I e V non sono stati scelti a caso. Infatti vedremo che V e I sono proprio una tensione e una corrente.

Il campo E_t si misura in volt/metro e quindi, se arbitrariamente diamo a V la dimensione di volt, ne segue che il vettore e ha per dimensione [metri^-1] e quindi è un semplice fattore geometrico. Lo stesso vale per il termine h, se diamo a I la dimensione di ampere.

I campi E_t e H_t variano sia sul piano trasverso che lungo la direzione z. La variazione che si ha da un punto all’altro di uno stesso piano trasverso è dovuta unicamente a e(t) e a h(t), mentre la variazione lungo z, cioè nella direzione di propagazione, è dovuta a V(z) e I(z).

Poiché e e h sono indipendenti da z, nelle equazioni si possono portare fuori dall’operatore di derivata, che diventano così derivate totali:

                                                          

Stante la relazione esistente tra le componenti dei campi lungo z e quelle giacenti sul piano trasverso, si potrebbe dimostrare che aver imposto che le componenti lungo z siano nulle impone che e e h abbiano una distribuzione sui piani trasversi di tipo statico e quindi che le componenti trasversali dei campi siano irrotazionali. Pertanto esse sono dotate di potenziale e per esse vale l’equazione di Laplace e quindi sono funzioni armoniche.

Queste equazioni rappresentano ciascuna l’uguaglianza di due vettori e questo significa, in altre parole, che e è proporzionale a (h ∧ i_z) come h è proporzionale a (i_z ∧ e) 

    e = 𝛼 (h ∧ i_z)

    h = 1/𝛼  (i_z ∧ e) 

e quindi, moltiplicando ambo i membri settorialmente per i_z, si ha: 

                                          

Queste due equazioni sono anche note come “equazioni dei telegrafisti”.

Per verificare quali solo le strutture fisiche che consentono la propagazione delle grandezze V e I, occorre imporre le condizioni al contorno.

 Queste richiedono che la componente tangenziale del campo elettrico sia nulla sulla superficie della struttura guidante (fig. 1). D’altra parte per un noto teorema di matematica se una funzione armonica è costante su tutti i punti del contorno, essa è costante in tutti i punti interni, se il dominio è semplicemente connesso.

Un dominio si dice semplicemente connesso se, per ogni coppia di punti appartenenti ad esso, è possibile trovare un percorso che li unisca che sia completamente interno al dominio.

Ciò significa che, se la struttura è semplicemente connessa, il campo elettrico è costante. Anzi, si può dimostrare che vale zero in tutti i punti e quindi il modo TEM non può esistere.

   Il modo TEM può invece esistere se e solo se la struttura guidante è connessa, come lo sono, per esempio, la linea bifilare e il cavo coassiale e se i due fili sono a tensione diversa.

In altri termini, in una struttura fisica come quella in figura 2 (semplicemente connessa), per esempio un singolo tubo, non vi può essere propagazione di un campo elettromagnetico avente componente nulla lungo l’asse di propagazione.

Se invece la struttura è molteplicemente connessa, il campo non è più necessariamente costante e quindi il modo TEM può esistere. Le due strutture che più interessano per le applicazioni sono il cavo coassiale e la linea di trasmissione.

I modi non TEM, vice versa, possono propagarsi solo in strutture come quella in figura, che prendono il nome di guide d’onda.

Riassumendo, quindi, da un punto di vista matematico è possibile ottenere una soluzione diversa da zero per un modo TEM, cioè di un campo elettrico e di uno magnetico esclusivamente giacenti in piani perpendicolari alla direzione di propagazione, se il dominio a cui ci si riferisce non è semplicemente connesso. In termini più pratici, ciò significa che occorrono due fili. Se si ha, per esempio, una cavità costituita da un tubo unico, il modo TEM non è possibile.

Le applicazioni:la linea bifilare

La linea di trasmissione bifilare ideale è formata da due conduttori elettrici perfetti, tali da avere l’uno la corrente in un verso e l’altro la stessa corrente in valore assoluto, ma nel verso opposto.

A grande distanza i due conduttori si possono riguardare come antenne che irradiano campi diversi. Poiché questi campi sono sfasati di 180° e poiché i fili hanno una piccola distanza tra loro, i campi all’infinito si annullano. Essi sono invece determinanti solo nelle vicinanze.

Si può dimostrare che per le linee di trasmissione il parametro 𝛼 si può esplicitare come segue:

                                                                      𝛼 = 𝜇/L = C/𝜀

dove C e L hanno il consueto significato di capacità dei due conduttori per unità di lunghezza e di induttanza della linea per unità di lunghezza, mentre e e m quello di costante dielettrica e costante magnetica del mezzo interposto.

 Le equazioni della linea di trasmissione  quindi diventano quelle ben note:   

                                                     

La soluzione di queste equazioni è costituita da un’onda di tensione che si propaga dalla sorgente verso il carico (il primo termine delle equazioni 3)) e da un’onda riflessa (il secondo termine delle equazioni) che torna verso la sorgente, sia per la tensione che per la corrente.

Matematicamente, ciò si esprime come segue:

In ogni punto della linea i valori della tensione e della corrente sono dati dalle equazioni di cui sopra, una volta che si siano determinati i valori delle costanti che in esse compaiono.

Y₀ è l’ammettenza caratteristica della linea:

Per le linee aeree di alta tensione Z₀ varia da circa 400 a poco più di 250 Ohm, mentre per i cavi è dell’ordine di 30-60 Ohm.

Il valore del rapporto tra l’impedenza caratteristica e il carico posto all’estremo della linea determina l’esistenza e l’entità delle onde riflesse e in definitiva dell’entità della potenza trasferita dalla sorgente al carico. Questo è un principio di fondamentale importanza, di larga applicazione in elettronica, negli impianti di trasmissione dell’energia elettrica in alta tensione e nell’elettrotecnica in generale.

In una linea terminante sull’impedenza caratteristica il rapporto tra tensione e corrente in ogni punto della linea è sempre uguale all’impedenza caratteristica, mentre lo sfasamento reciproco fra tensione e corrente è costante. In una linea aperta ad una estremità e senza perdite la tensione e la corrente variano con legge cosinusoidale e sinusoidale rispettivamente, per cui vi sono punti in cui la tensione è sempre nulla e punti in cui lo è la corrente e lo stesso accade per i punti di massima e per gli altri punti.

Si può inoltre definire il parametro 

                           

che costituisce la velocità di propagazione della linea.

In una linea priva di perdite la velocità è quella della luce nel vuoto, perché, essendo nulla la resistenza dei conduttori, tutta la corrente fluisce sulla superficie. Non essendovi flusso all’interno dei conduttori che aumenta l’induttanza. La lunghezza d’onda a 50 Hz è di 6000 km.

Dalle 2) si vede che se si considera un tratto di linea di lunghezza dz, la differenza di potenziale misurabile ai capi di dz è data dal prodotto di una reattanza induttiva per la corrente che la attraversa. La caduta di corrente che si ha nel tratto dz è data dal prodotto di una ammettenza capacitiva per la tensione V. In altri termini, se si misura il potenziale in A e in B, si trovano per esso due valori diversi, come pure, se si fa una misura di corrente, si trova che la corrente che entra in A è diversa da quella che esce da B. Ciò fa supporre che il tratto dz ammetta un circuito equivalente come quello in figura 4 e che di conseguenza la linea di trasmissione si possa rappresentare con un modello a parametri concentrati, come una cascata di quadripoli del tipo indicato in figura 5.

                                                           che

Le applicazioni: Il cavo coassiale

Nel caso del cavo coassiale, l’integrale del campo elettrico dal conduttore interno a quello esterno è invariante rispetto al percorso di integrazione, purché tale percorso giaccia nel piano trasverso. Tale integrale circuitale, che ha la dimensione di volt, è nient’altro che la differenza di potenziale fra i due conduttori. Saltando tutti i passaggi di calcolo intermedi, si ha:

                                                           

Per la corrente si sceglie una linea chiusa arbitraria che contiene il conduttore interno e si fa una circuitazione del campo magnetico lungo di essa. Comunque si scelga questa linea chiusa, purché non tagli né il conduttore interno né quello esterno e sia tutta contenuta nel piano trasverso, la circuitazione di Ht lungo essa è invariante e dà proprio il valore della corrente che circola nel conduttore interno. Alla funzione scalare 𝐼(𝑧) si può associare il significato fisico di una corrente:
                                
                                                                  

Da quanto sopra detto si deduce che il campo elettrico è interamente diretto secondo ir mentre il campo magnetico è tutto diretto secondo i𝜃 e inoltre ambedue decadono al variare di r secondo la legge 1/r.

Per un cavo coassiale l’induttanza e la capacità sono espressi dalle seguenti relazioni:

 

Il segnale che attraversa il cavo coassiale subisce un’attenuazione in dipendenza dalla frequenza di lavoro, dalla lunghezza del cavo, dalla presenza di ossidazione sulla superficie del conduttore (soprattutto quello interno, che sopporta la densità di corrente maggiore), dall’invecchiamento del cavo, da infiltrazioni di umidità ecc.

L’attenuazione viene fornita dai costruttori per una determinata frequenza. E’ possibile usare la formula approssimata A_f = A(costruttore alla frequenza f₀) (f/f₀)¹/²

I componenti fondamentali del cavo coassiale sono:

      - Conduttore interno, di rame elettrolitico ricotto con purezza al 99.9%. Per migliorare la resistenza all’ossidazione si utilizzano talvolta conduttori stagnati o argentati
      - Dielettrico, di polietilene o di materiale con equivalenti caratteristiche, che conferisce anche resistenza al cavo e mantiene il conduttore interno in posizione corretta. L’utilizzo di isolanti espansi, in cui la presenza dell’aria ne riduce la capacità e quindi il livello di attenuazione.
      - Conduttore esterno, formato da uno o più nastri e trecce di rame, anche in funzione schermante. La funzione schermante del nastro e della treccia ha l’effetto di ridurre drasticamente sia l’interferenza dovuta ai campi esterni sul segnale del cavo, sia, viceversa, l’interferenza sull’ambiente dovuta al cavo. Come si sa, il campo, entrando nel mezzo conduttore diventa di tipo reattivo e decade esponenzialmente, per cui l’effetto schermante è tanto superiore quanto maggiore è lo spessore schermante. Lo schermo del cavo va collegato a massa.
      - Guaina protettiva esterna, che, similmente ai cavi elettrici, può essere di PVC, di polietilene (soprattutto per posa in esterno o interrata) o di tipo LSZH (senza produzione di gas tossici o nocivi, non propagante la fiamma). Essa deve avere una tensione di isolamento, cioè una capacità di sopportare una tensione applicata tra la sua superficie esterna e quella interna, di alcuni kV (per i valori esatti bisogna fare riferimento ai data sheets dei costruttori). Per aumentare la vita della guaina, questa viene realizzata con l’aggiunta di sostanze protettive contro i raggi ultravioletti, che altrimenti la infragilirebbero.
      - Ulteriori componenti, tesi a migliorare la prestazione e la durata del cavo, quali ad esempio l’uso di gel sigillanti, gelatine per ulteriore protezione contro l’umidità, strati addizionali di materiali opportuni sui conduttori interno ed esterno e sull’isolante.
      - È anche da considerare come facente parte del cavo, o almeno determinante per una buona performance, il connettore, che deve essere a tenute stagna e resistente agli inquinanti. Mentre per i cavi la schermatura è affidata alla calza e al nastro esterni, per i connettori la schermatura è ottenuta mediante gabbie metalliche.

La posa dei cavi coassiali richiede una certa attenzione, allo scopo di non degradare il segnale. Infatti in un cavo di buona qualità il rumore di fondo è basso, perché non vi sono riflessioni del segnale da parte di difetti dovuti a schiacciamento o piegature oltre il raggio di curvatura consentito dal costruttore (altre cause di riflessione possono essere impurità presenti nel cavo).

Per una buona posa occorre eseguire i seguenti passi:

1)    Munirsi possibilmente di uno spelacavi, per eseguire correttamente il taglio dei vari componenti del cavo
2)    Mettere a nudo il conduttore interno, tagliando con lo spelacavi la guaina e l’isolante
3)    Quindi sguainare il cavo, evitando di incidere lo schermo sottostante e di schiacciare l’isolante
4)    Tagliare il conduttore centrale trasversalmente, per facilitarne l’inserimento nel connettore
5)    Intestare il connettore. Questo deve generare un’attenuazione non superiore a qualche centesimo di decibel, a seconda della frequenza di lavoro, e deve attenuare in maniera sostanziale le onde riflesse (alcune decine di decibel)
6)    Effettuare l’intestazione mediante crimpaggio, badando di piegare all’indietro la treccia sulla guaina e lasciando il nastro conduttore a contatto con l’isolante
7)    Infilare il conduttore interno nel connettore e crimpare.

Varianti alla crimpatura sono offerte dai connettori cha si avvitano e da quelli che si fissano a compressione.

Se si deve collegare il cavo ad una presa o ad una cassetta di derivazione, occorre collegare il conduttore esterno alla massa della presa.

Un cavo di tipo sbagliato o posato male o con un connettore non intestato correttamente degrada il segnale. Per esempio, nelle applicazioni televisive, si aveva l’effetto neve (TV analogica) e oggi, con la TV digitale, si ha l’effetto mosaico.

Nella posa all’esterno occorre praticare le così dette curve di sgocciolamento. Nella posa all’interno degli edifici, se si usano le canaline, queste devono avere un diametro almeno quattro volte quello del cavo. Occorre anche assicurarsi che nelle curve il raggio di curvatura non sia inferiore ai valori minimi dichiarati dal costruttore.